Daniił Kwiat urodził się 26 kwietnia 1994 roku w Ufie. Jest drugim rosyjskim kierowcą w historii (po Witaliju Pietrowie), który brał udział w wyścigu Formuły 1.

Daniił zadebiutował w kartingu w wieku 11 lat. W 2005 i 2006 roku brał udział w lokalnych zawodach, między innymi w rosyjskich mistrzostwach kartingowych, a także sporadycznie ścigał się we Włoszech, by następnie przenieść się tam na stałe i uczestniczyć w bardziej konkurencyjnych zawodach. W 2008 roku Kwiat podpisał kontrakt z zespołem fabrycznym Zanardi. Wkrótce przeniósł się do kategorii juniorów KF3 i uczestniczył w prestiżowej serii World Series Karting. Z zespołem Moriscani Racing wygrał kilka znaczących tytułów, w tym Puchar Bridgestone i Trofeo dello Industrie. W 2009 roku Daniił wygrał Puchar Zimowy w KF3. Został zauważony przez Red Bulla i latem odbył testy, na których wypadł tak dobrze, że austriacki team postanowił dodać go do swojego juniorskiego programu.

W 2010 roku Kwiat rozpoczął starty w Formule BMW. Przed rozpoczęciem sezonu wziął też udział w azjatyckich mistrzostwach tej serii, gdzie wygrał swój pierwszy wyścig. Jego wyniki w Europie nie były jednak udane, lepsze osiągi notował dopiero w drugiej połowie sezonu, między innymi wygrywając wyścig w Singapurze.

Przed rozpoczęciem kolejnego sezonu Daniił przeniósł się do Toyota Racing Series. Wystartował w czterech rundach, zajmując piąte miejsce w klasyfikacji generalnej. Następnym wyborem Rosjanina była Formuła Renault 2.0. Uczestniczył zarówno w zawodach Pucharu Europy, jak i w Pucharze Europy Północnej. W tym drugim musiał uznać wyższość Sainza, mimo że zdołał aż siedmiokrotnie triumfować, z kolei w Pucharze Europy był trzeci, za Robinem Frijnsem i Sainzem.

W 2012 roku pozostał w Formule Renault, startując zarówno w alpejskiej jak i europejskiej edycji. Zanotował znakomity debiut w alpejskich mistrzostwach, zdobywając podwójne zwycięstwo na Monzy. W europejskiej edycji Kwiat walczył o tytuł ze Stoffelem Vandoornem. Mimo że zanotował o dwa zwycięstwa więcej niż Belg, utrata punktów w trakcie sezonu nie pozwoliła mu zdobyć tytułu. Dużo lepiej poradził sobie w alpejskiej serii, gdzie odniósł końcowy triumf.

W sezonie 2013 Daniił uczestniczył w wyścigach GP3, a także brał udział w zawodach Europejskiej Formuły 3, w której nie mógł jednak zdobywać punktów, gdyż zbyt późno wpisano go jako uczestnika serii. Pięć razy startował z pole position, siedmiokrotnie stawał na podium i zwyciężył w Zandvoort. W GP3 Kwiat po raz pierwszy stanął na podium podczas wyścigu na Hungaroringu, a pierwsze zwycięstwo odniósł w Spa. Zanotował świetne występy w dwóch ostatnich rundach na Monzy i Abu Zabi, które przyczyniły się do zdobycia przed niego tytułu mistrzowskiego w debiutanckim sezonie. W październiku tego roku ogłoszono, że Daniił zasili szeregi Formuły 1 od następnego sezonu i będzie reprezentował zespół Toro Rosso u boku Jeana Erica Vergne'a. Już podczas dwóch ostatnich rund sezonu 2013 Formuły 1 dane mu było wziąć udział w treningach za kierownicą bolidu swojego przyszłego teamu.

Już podczas pierwszego wyścigu sezonu 2014 Kwiat zdołał minąć linię mety na punktowanej pozycji, co oznaczało, że w wieku dziewiętnastu lat stał się najmłodszym zdobywcą punktów w historii F1. Do końca sezonu punktował jeszcze czterokrotnie, co pozwoliło mu zająć piętnastą lokatę w klasyfikacji generalnej. W październiku tego roku ogłoszono, że Daniił awansuje od przyszłego sezonu do Red Bulla po tym, jak Sebastian Vettel ogłosił swoje odejście do zespołu Ferrari.

Podczas Grand Prix Węgier w sezonie 2015 zajął drugie miejsce, co było jego pierwszym podium w karierze, a także najwyższym miejscem zdobytym przez rosyjskiego kierowcę w historii Formuły 1. Daniił ukończył sezon z dorobkiem 95 punktów, co pozwoliło mu zająć 7 pozycję w mistrzostwach, o jedno miejsce wyżej od partnera zespołowego, Daniela Ricciardo.

Daniił zdołał zameldować się na podium podczas Grand Prix Chin w sezonie 2016, co było pierwszym podium dla Red Bulla w tym roku. Po czwartej rundzie sezonu kierownictwo zespołu, niezadowolone z dyspozycji prezentowanej przez rosyjskiego kierowcę, postanowiło zdegradować go do Toro Rosso na miejsce Maksa Verstappena, który od następnego wyścigu został mianowany nowym reprezentantem Red Bulla. Kwiat zakończył sezon z dorobkiem 25 punktów, co pozwoliło mu zająć czternastą pozycję w klasyfikacji generalnej.

Kwiat pozostał z Toro Rosso także na sezon 2017. Rok upływał mu pod znakiem wielu błędów, zarówno tych ze strony zespołu, jak i samego kierowcy. We wrześniu tego roku ogłoszono, że podczas Grand Prix Malezji Rosjanin zostanie zastąpiony przez Pierre'a Gasly'ego. Daniił powrócił za kierownicę bolidu Toro Rosso podczas wyścigu w USA, w którym zastąpił odchodzącego do Renault Carlosa Sainza, jednak był to jednorazowy występ. Do końca sezonu jego miejsce zajął Brendon Hartley.

W styczniu 2018 roku zespół Ferrari ogłosił, że Kwiat zostanie ich kierowcą rozwojowym na nadchodzący sezon. 29 września 2018 roku ogłoszono, że Daniił powróci od sezonu 2019 do Toro Rosso, by zająć miejsce odchodzącego do Red Bulla Gasly'ego. Będzie to trzecia próba rosyjskiego kierowcy we włoskim zespole.